REKLAMA

Matematikou k miliónům



Zajímá vás, jak vypadají problémy matematiky, které se po spoustu let nepodařilo vyřešit a dnes se cení na miliony dolarů ? Není nic snazšího, než se podívat na některý ze sedmi problémů, které v roce 2000 vyhlásil CMI (Clay Mathematics Institute) v massachusettské Cambridge jako "Millennium Prize Problems". Přesněji řečeno, za vyřešení každého jednoho problému obdrží řešitel milion amerických dolarů. Tak se ně pojďme podívat:



1. P versus NP

Předpokládejme, že máte za úkol zajistit ubytování pro 400 studentů, kteří se letos přihlásili na vysokou školu. Bohužel, místa není nazbyt,a vám se podařilo sehnat bydlení pouze pro stovku z nich. Zbylých tři sta musíte odmítnout. Aby byla věc komplikovanější, děkan vám poslal seznam dvojic studentů, z nichž smíte ubytování poskytnout buď jednomu, nebo žádnému, nikoliv však oběma současně.

Toto je příklad tak zvaného NP-problému. Jak vybrat sto studentů ze čtyř set a přitom vyhovět děkanovi ? Samozřejmě, pokud vám někdo dodá sto jmen, je snadné ověřit, zda se mezi nimi nevyskytuje děkanem "nepovolená" dvojice. Problém však nastává, pokud chceme takový seznam vytvořit. Každý se snadno přesvědčí, že vybírat jména namátkou a průběžně kontrolovat, zda jsme neporušili děkanovo nařízení, je velice komplikované, a prakticky nevede k cíli. Nebo snad vyzkoušet všechny možné kombinace ? Ale těch je více než atomů ve viditelném vesmíru ! Tedy žádná budoucí civilizace nemůže doufat v sestrojení nějakého superpočítače schopného vyřešit tento problém tak říkajíc "na tvrdo", tj. porovnáním všech možných výběrů sta studentů ze čtyř set s děkanovým seznamem. Nicméně, není vyloučené, že lze najít postup, kterým bychom mohli seznam stovky jmen vytvořit celkem jednoduše. Ostatně, rozeznávání otázek, pro něž je velice snadné zkontrolovat správnost odpovědí, ale nesmírně obtížné je najít pomocí přímých metod, zůstává stále otevřeným problémem, a seznam studentů se zdá být jedním z nich. Dosud však nikdo nebyl schopen dokázat ani pro jeden z těchto problémů, že nalezení správných odpovědí (třeba za pomoci počítače) je skutečně tak složité, jak se zdá. Stephen Cook a Leonid Levin formulovali problém P (lehké najít) versus NP (snadné zkontrolovat) v roce 1971 nezávisle na sobě.



2. Hodgeova domněnka

V průběhu dvacátého století objevili matematici velice účinné způsoby zkoumání tvarů složitých objektů. Základní myšlenkou byla otázka, zda je možné napodobit tvar daného útvaru s libovolnou přesností maketou poslepovanou z jednoduchých geometrických bloků. Tato technika se ukázala být velice užitečnou a následně byla mnohokrát zobecněna. Dnes slouží, mimo jiné, ke klasifikaci nepřeberného množství objektů, se kterými se v matematice setkáváme. Bohužel, ze zobecnění se vytratila původní geometrická myšlenka, a naopak bylo nutné přibrat doplňující části, které nemají geometrický význam. Hodgeova domněnka tvrdí, že pro obzvláště hezké prostory, kterým se říká projektivní algebraické variety, jsou části zvané Hodgeovy cykly racionálně lineárními kombinacemi geometrických dílů zvaných algebraické cykly.



3. Poincarého domněnka

Když přetáhneme přes povrch tvaru jablka gumový pás, pak jej pomalým a opatrným stahováním můžeme srazit do jednoho bodu, aniž bychom porušili povrch nebo přetrhli pás. Na druhou stranu, pokud bychom nějakým způsobem obepjali gumovým pásem tvar pneumatiky, a pokusili se jej stáhnout stejným způsobem do jednoho bodu, nepodařilo by se nám to. Říkáme, že povrch jablka je "jednoduše souvislý", ale povrch pneumatiky není. Již před sto lety Poincaré věděl, že každý jednoduše souvislý povrch v třídimensionálním prostoru není vlastně nic jiného než elasticky deformovaný povrch koule.       Poté jej začalo zajímat, zda i každý jednoduše souvislý povrch ve čtyřdimensionálním prostoru je rovněž pouze zdeformovaný povrch (čtyřdimensionální) koule. Brzy se ale ukázalo, že vyřešit tento problém nebude snadné, a dodnes se to nikomu nepodařilo.


Zdá se, že tento problém nedávno vyřešil ruský matematik Grigorij Perelman (více ZDE).


4. Riemannova hypotéza


Některá čísla mají tu zvláštní vlastnost, že je nelze zapsat jako součin dvou menších čísel
(například 2, 3, 5, 7, atd.). Říká se jim prvočísla a mají velice důležitou roli jak v matematice samé tak v aplikacích. Jejich rozložení v přirozených číslech je nepravidelné, ale německý matematik G.F.B. Riemann (1826-1866) vysledoval souvislost mezi jejich výskytem a chováním komplexní funkce, které se dnes říká Riemannova zeta funkce. Riemannova hypotéza tvrdí, že všechny zajímavé kořeny zeta funkce leží na přímce. Již víme, že prvních 1.500.000.000 řešení na přímce leží. Důkaz, že je tomu tak pro každý kořen, by objasnil spoustu záhad obklopujících rozložení prvočísel.


5. Yangova-Millsova teorie

Zákony kvantové fyziky popisují svět elementárních částic podobně jako Newtonovy zákony popisují makroskopický svět. Téměř před padesáti lety spatřily světlo světa práce Yanga a Millse, ve kterých autoři popisovali svět elementárních částic pozoruhodným způsobem používajíce struktur a jazyka geometrie. Kvantová Yangova-Millsova teorie je dnes základem většiny úvah v teorii částic a důsledky z ní plynoucí byly mnohokrát experimentálně ověřovány. Stále ale není jasné, jakým matematickým aparátem tuto teorii podchytit. Důvody úspěšnosti popisu silných interakcí elementárních částic
Yangovou-Millsovou teorií spočívají v delikátní kvantově mechanické vlastnosti, které se anglicky říká "mass gap". Přesněji řečeno, kvantová částice má kladnou hmotnost, přestože klasické vlny se pohybují rychlostí světla. Tato vlastnost byla objevena experimentálními fyziky, a ověřena pomocí počítačových simulací. Dodnes ale tento jev nebyl objasněn teoreticky. Zdá se, že zodpovězení těchto otázek bude vyžadovat nové, fundamentální myšlenky jak ve fyzice tak v matematice.


6. Navierovy-Stokesovy rovnice

Plujeme-li v loďce po jezeře, vidíme, jak se po hladině šíří vlny. Tryskové letadlo zase svým pohybem za sebou zanechává turbulentní proudy.vzduchu. Matematici a fyzici věří, že pochopíme-li řešení Navierových-Stokesových rovnic, budeme pak schopni vysvětlit a popsat vzdušné proudy a turbulenci. Přestože vznik těchto rovnic spadá do 19. století, dodnes o nich víme jen velmi málo, a právě zásadní pokrok v matematické teorii by odhalil tajemství, které se v nich skrývá.


7. Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka


Matematici byli odjakživa fascinovaní problémy, jako například jak popsat všechna řešení rovnice


x2+y2=z2

v celých číslech. V tomto speciálním případě vše vyřešil již Eukleides, ale řešení složitějšíchalgebraických rovnic dá už nesrovnatelně více práce. V roce 1970 Yu. V. Matyasevič dokonce dokázal, že desátý Hilbertův problém je nevyřešitelný. Přesněji řečeno, neexistuje žádná obecná metoda jak poznat, zda každá taková rovnice má, nebo nemá řešení v celých číslech. Přesto ale není vyloučeno, že alespoň v nějakých podtřídách bude možné takový postup najít. Totiž. Pokud všechna řešení leží na nějaké abelovské varietě, pak Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka říká, že velikost grupy racionálních bodů má souvislost s chováním k ní příslušné zeta funkce v okolí bodu jedna: Pokud je hodnota zeta funkce v bodě jedna rovná nule, pak existuje nekonečně mnoho řešení. V opačném případě jich existuje nejvýše konečně mnoho.


Převzato z www.mat.fsv.cvut.cz
(Publikováno 25. března 2010)

>>zpět
Omlouváme se, ale registrace v tuto chvíli není možná, z důvodu řešení Souhlasu o poskytování osobních údajů – registrace bude opět možná od září 2018. Děkujeme za pochopení!
Předpověď počasí
Úterý Středa Čtvrtek
Polojasno
27°C /15°C
Polojasno
28°C /16°C
Polojasno
31°C /17°C

Portál - kniha Hry a trénink Paměti

Logo Ministerstvo práce a sociálních věci Logo Život90
Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace